关于与「边界 (拓扑学)」標題相近或相同的条目，請見「边界 (消歧义)」。
此條目介紹的是拓扑学中的边界。关于流形中的边界，请见「流形」。
邊界，（英語：boundary），是點集拓樸的概念，拓扑空间 X 的子集 S 的边界是从 S 和从 S 的外部都可以接近的点的集合。更嚴格的说，它是屬於 S 的闭包但不是 S 的內點的所有点的集合。S 的边界的元素叫做 S 的邊界點（英語：boundary point）。集合 S 的边界的符号包括 bd(S)、fr(S) 和 ，
∂
S
{\displaystyle \partial S}
。某些作者（比如 Willard 在 General Topology 中）使用术语“边境”（frontier）而不用边界来试图避免混淆于代数拓扑学中使用的边界概念。
集合（淺藍色）和它的邊界（深藍色）。
S 的边界的连通单元叫做 S的边界单元。
目录
1 定义
2 性质
3 举例
4 引用
定义
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拓扑空间
(
X
,
τ
)
{\displaystyle (X,\tau )}
的子集
S
{\displaystyle S}
的边界（記為
∂
S
{\displaystyle \partial S}
）有一些常用及等价的定义:
S
{\displaystyle S}
的闭包减去
S
{\displaystyle S}
的内部：
∂
S
=
S
¯
−
S
o
{\displaystyle \partial S={\bar {S}}-S^{o}}
。
S
{\displaystyle S}
的闭包和其补集的闭包的交集：
∂
S
=
S
¯
∩
(
X
−
S
)
¯
{\displaystyle \partial S={\bar {S}}\cap {\overline {(X-S)}}}
。
∂
S
{\displaystyle \partial S}
是所有满足以下条件的点
x
{\displaystyle x}
的集合：
x
{\displaystyle x}
的每个邻域都包含至少一个属于
S
{\displaystyle S}
的點，以及至少一个不属于
S
{\displaystyle S}
的點。这些點
x
{\displaystyle x}
称为
S
{\displaystyle S}
的边界点。
性质
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集合的边界是闭集。
p 是某集合的边界点，当且仅当所有 p 的邻域包含至少一个点属于该集合且至少一个点不属于该集合。
某集合的边界等于该集合的闭包和该集合的补集的闭包的交集。
某集合是闭集，当且仅当该集合的边界在该集合中；某集合是开集，当且仅当该集合与其边界不相交。
某集合的边界等于其补集的边界。
某集合的闭包等于该集合和其边界的并集。
某集合的边界为空，当且仅当该集合既是开集也是闭集(也就是闭开集)。
举例
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若
X
=
[
0
,
5
)
{\displaystyle X=[0,5)\,}
，则
∂
X
=
{
0
,
5
}
{\displaystyle \partial X=\{0,5\}}
。
∂
B
¯
(
a
,
r
)
=
B
¯
(
a
,
r
)
−
B
(
a
,
r
)
{\displaystyle \partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)}
∂
D
n
≃
S
n
−
1
{\displaystyle \partial D^{n}\simeq S^{n-1}}
∂
∅
=
∅
{\displaystyle \partial \emptyset =\emptyset }
在 R3 中，若 Ω=x2+y2 ≤ 1且Z=0，则 ∂Ω = Ω；但在 R2 中，∂Ω = {(x, y) | x2+y2 = 1}。所以，集合的边界依赖其背景空间。
引用
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J. R. Munkres. Topology. Prentice-Hall. 2000. ISBN 978-0-13-181629-9.
S. Willard. General Topology. Addison-Wesley. 1970. ISBN 978-0-201-08707-9.